Семь задач тысячелетия

В 2000 году Математический институт Клэя назвал семь задач тысячелетия. Самые важные и сложные проблемы, которые предстоит решить математикам. За каждую из этих задач институт заплатит миллион долларов, но математикам на самом деле это не важно. С тех пор прошло 18 лет, и как вы думаете, сколько проблем решено? Одна — гипотеза Пуанкаре, которую доказал наш Григорий Перельман. Получил за это Филдсовскую премию. От денег отказался, как известно.

Когда математики решают задачи, они не задают себе вопрос, зачем это нужно. Хороший пример — Пол Эрдёш, величайший математик из всех занимавшихся комбинаторикой. Он оставил после себя сотни нерешённых задач, над которыми математики не без удовольствия бьются до сих пор. Они все очень красивые: звучат просто, но непонятно, как их решать, иногда даже — с какого конца подобраться.

Вот, например, задача Эрдёша о равных расстояниях. Она фантастическая, потому что для детского сада. Есть 10 фишек, ваша задача — расставить их на плоскости так, чтобы как можно больше отрезков между ними были одинаковой длины. Как это сделать? Как доказать, что вы нашли максимальное число таких отрезков? Ну, допустим, с десятью точками компьютер худо-бедно разберётся. А что, если их сто? Тысяча? Какова асимптотика доли равных отрезков при оптимальном размещении растущего числа точек на плоскости?

На мой вкус, самые красивые, самые манящие задачи именно такие, как только что описанная — задачи, формулировку которых может понять ребёнок детсадовского возраста, но которые до сих пор не имеют решения.

С самыми сложными задачами есть проблема. После того как кто-то такую задачу решит, ещё кто-то, и не один, а минимум человек двести, должны проверить предложенное решение. Это не так-то просто.

В мире есть от силы тысяча математиков, способных понять доказательство Великой теоремы Ферма, и я к ним, к сожалению, пока не отношусь. Я прикидывал: мне надо на год запереться на даче с книжками, чтобы разобраться в этом доказательстве. Эндрю Уайлс предложил его ещё в 1994 году, но премию Абеля за это получил лишь в 2016-м. Всё это время комитет премии не располагал достаточным количеством подтверждений доказательства, а ошибиться им не хотелось.

Насколько мне известно, доказательство ABC-гипотезы (гипотезы Эстерле — Массера), пришедшей на смену Великой теореме Ферма, лежит с 2013 года, и пока его смогли проверить всего два-три человека. Оно доступно в интернете — пожалуйста, проверяйте! Но нет, пока почти никто не взялся.

Прикладной смысл математических задач всегда связан со спецификой конкретной дисциплины. В физике это прикладные задачи одного рода, в химии другого, в компьютерном деле третьего.

Фундаментальная же математика развивается внутри себя, не повинуясь требованиям прикладной инженерии, — только собственной логике. А потом приходят люди и говорят: «Вы вот это знаете — нам оно нужно, чтобы изучить распространение общественного мнения в социуме», «А нам нужно, чтобы ракеты летали» и так далее.

Когда-то появилась теория, обосновавшая возможность полёта, и изобрели самолёт. Люди всегда хотели летать, но не знали, как это делать. Пришёл Жуковский и объяснил. Без комплексного анализа самолёты бы не летали. Потому что очень трудно случайно угадать форму крыла. Её рассчитали в соответствии с формулами, которые теперь учат на втором курсе мехмата МГУ.